Semnalul analitic și transformata Hilbert - Revizia istoricului

Yo3iti la 26 ianuarie 2020 11:17

2020-01-26T11:17:19Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 26 ianuarie 2020 14:17
Linia 64:		Linia 64:
	* [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/envelope-extraction-using-the-analytic-signal.html MathWorks: Extragerea anvelopei unui semnal modulat]		* [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/envelope-extraction-using-the-analytic-signal.html MathWorks: Extragerea anvelopei unui semnal modulat]
	* [https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/22907-phase-angle-from-discrte-hilbert-tranform Discuție forum: Phase angle from discrete Hilbert transform]		* [https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/22907-phase-angle-from-discrte-hilbert-tranform Discuție forum: Phase angle from discrete Hilbert transform]
			* [https://ieeexplore.ieee.org/document/135378 Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal. II. Algorithms and applications] – Proceedings of the IEEE, vol. 80, no. 4, pp. 540–568, 1992.

Yo3iti la 26 ianuarie 2020 11:15

2020-01-26T11:15:18Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 26 ianuarie 2020 14:15
Linia 63:		Linia 63:
	* [http://www.math.md/school/istoria/hilbert/hilbert.html Despre David Hilbert]		* [http://www.math.md/school/istoria/hilbert/hilbert.html Despre David Hilbert]
	* [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/envelope-extraction-using-the-analytic-signal.html MathWorks: Extragerea anvelopei unui semnal modulat]		* [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/envelope-extraction-using-the-analytic-signal.html MathWorks: Extragerea anvelopei unui semnal modulat]
			* [https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/22907-phase-angle-from-discrte-hilbert-tranform Discuție forum: Phase angle from discrete Hilbert transform]

Yo3iti la 26 ianuarie 2020 10:56

2020-01-26T10:56:08Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 26 ianuarie 2020 13:56
Linia 62:		Linia 62:
	==Link-uri externe==		==Link-uri externe==
	* [http://www.math.md/school/istoria/hilbert/hilbert.html Despre David Hilbert]		* [http://www.math.md/school/istoria/hilbert/hilbert.html Despre David Hilbert]
			* [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/envelope-extraction-using-the-analytic-signal.html MathWorks: Extragerea anvelopei unui semnal modulat]

Yo3iti la 25 ianuarie 2020 20:32

2020-01-25T20:32:13Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 25 ianuarie 2020 23:32
Linia 1:		Linia 1:
	În prelucrarea semnalelor, o problemă deosebită o pun semnalele cu componentă complexă (imaginară). Unul dintre domeniile cu aplicabilitate imediată este modulația complexă a semnalelor sinuosoidale, caz concret — modulația cu bandă laterală unică (SSB) prin schimbare de fază<ref name="blu_sch_faza">Dintre tehnicile de modulație BLU (SSB), modulația prin detecție sincronă are limitări în ceea ce privește discriminarea spectrală a două semnale adiacente, ca atare este rar folosită în prezent și este menționată doar din motive istorice.</ref>. Procesarea în cuadratură a fost soluția la limitările modulației cu detecție sincronă, dar are nevoie de o componentă complexă a semnalului. [[Transformata]] [https://ro.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert Hilbert] este un instrument esențial deoarace aplicând de două ori consecutiv unui semnal [[transformata]] [https://ro.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert Hilbert], se obţine semnalul cu semn schimbat (negativ). În cazul unui semnal radio, aceasta este, practic, componenta sinusoidală, imaginară, a semnalului original. Semnalul "generat" nu există în natură, este un semnal pur ''analitic''. Ca atare, putem defini un [[semnal analitic]] ca fiind semnalul cu o caracteristica spectrală întotdeauna nulă pentru frecvenţe negative. Deci, dacă într-o caracteristică spectrală a unui semnal se ia în considerare numai domeniul frecvenţelor pozitive (care există în natură), atunci caracteristicii spectrale respective îi va corespunde (întotdeauna) un semnal analitic. E o mică ''șmecherie'' matematică care ajută foarte mult în practică<ref name="c_neg">O altă ''șmecherie'' matematică întâlnită în teoria filtrelor este capacitanța negativă folosită la fundamentarea teoretică (și implementarea practică) a filtrelor analogice. ;)</ref>, în teoria și practica modulatoarelor.		În prelucrarea semnalelor, o problemă deosebită o pun semnalele cu componentă complexă (imaginară). Unul dintre domeniile cu aplicabilitate imediată este modulația complexă a semnalelor sinuosoidale, caz concret — modulația cu bandă laterală unică (SSB) prin schimbare de fază<ref name="blu_sch_faza">Dintre tehnicile de modulație BLU (SSB), modulația prin detecție sincronă are limitări în ceea ce privește discriminarea spectrală a două semnale adiacente, ca atare este rar folosită în prezent și este menționată doar din motive istorice.</ref>. Procesarea în cuadratură a fost soluția la limitările modulației cu detecție sincronă, dar are nevoie de o componentă complexă a semnalului. [[Transformata]] [https://ro.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert Hilbert] este un instrument esențial deoarace aplicând de două ori consecutiv unui semnal [[transformata]] [https://ro.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert Hilbert], se obţine semnalul cu semn schimbat (negativ). În cazul unui semnal radio, aceasta este, practic, componenta sinusoidală, imaginară, a semnalului original. Semnalul "generat" nu există în natură, este un semnal pur ''analitic''. Ca atare, putem defini un [[semnal analitic]] ca fiind semnalul cu o caracteristica spectrală întotdeauna nulă pentru frecvenţe negative. Deci, dacă într-o caracteristică spectrală a unui semnal se ia în considerare numai domeniul frecvenţelor pozitive (care există în natură), atunci caracteristicii spectrale respective îi va corespunde (întotdeauna) un semnal analitic. E o mică ''șmecherie'' matematică care ajută foarte mult în practică<ref name="c_neg">O altă ''șmecherie'' matematică întâlnită în teoria filtrelor este capacitanța negativă folosită la fundamentarea teoretică (și implementarea practică) a filtrelor analogice. ;)</ref>, în teoria și practica modulatoarelor.

	Primul exemplu concret: Transformata Hilbert a unui semnal cu frecvența de 200 Hz, fără amplitudine inițială. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde.		Primul exemplu concret: Transformata Hilbert a unui semnal cu frecvența de 200 Hz, fără amplitudine inițială. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> [https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist_frequency Nyquist]) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde.

	<syntaxhighlight lang="Matlab">		<syntaxhighlight lang="Matlab">

Yo3iti la 25 ianuarie 2020 20:30

2020-01-25T20:30:17Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 25 ianuarie 2020 23:30
Linia 1:		Linia 1:
	În prelucrarea semnalelor, o problemă deosebită o pun semnalele cu componentă complexă (imaginară). Unul dintre domeniile cu aplicabilitate imediată este modulația complexă a semnalelor sinuosoidale, caz concret — modulația cu bandă laterală unică (SSB) prin schimbare de fază<ref name="blu_sch_faza">Dintre tehnicile de modulație BLU (SSB), modulația prin detecție sincronă are limitări în ceea ce privește discriminarea spectrală a două semnale adiacente, ca atare este rar folosită în prezent și este menționată doar din motive istorice.</ref>. Procesarea în cuadratură a fost soluția la limitările modulației cu detecție sincronă, dar are nevoie de o componentă complexă a semnalului. [[Transformata]] [[Hilbert]] este un instrument esențial deoarace aplicând de două ori consecutiv unui semnal [[transformata]] [[Hilbert]], se obţine semnalul cu semn schimbat (negativ). În cazul unui semnal radio, aceasta este, practic, componenta sinusoidală, imaginară, a semnalului original. Semnalul "generat" nu există în natură, este un semnal pur ''analitic''. Ca atare, putem defini un [[semnal analitic]] ca fiind semnalul cu o caracteristica spectrală întotdeauna nulă pentru frecvenţe negative. Deci, dacă într-o caracteristică spectrală a unui semnal se ia în considerare numai domeniul frecvenţelor pozitive (care există în natură), atunci caracteristicii spectrale respective îi va corespunde (întotdeauna) un semnal analitic. E o mică ''șmecherie'' matematică care ajută foarte mult în practică<ref name="c_neg">O altă ''șmecherie'' matematică întâlnită în teoria filtrelor este capacitanța negativă folosită la fundamentarea teoretică (și implementarea practică) a filtrelor analogice. ;)</ref>, în teoria și practica modulatoarelor.		În prelucrarea semnalelor, o problemă deosebită o pun semnalele cu componentă complexă (imaginară). Unul dintre domeniile cu aplicabilitate imediată este modulația complexă a semnalelor sinuosoidale, caz concret — modulația cu bandă laterală unică (SSB) prin schimbare de fază<ref name="blu_sch_faza">Dintre tehnicile de modulație BLU (SSB), modulația prin detecție sincronă are limitări în ceea ce privește discriminarea spectrală a două semnale adiacente, ca atare este rar folosită în prezent și este menționată doar din motive istorice.</ref>. Procesarea în cuadratură a fost soluția la limitările modulației cu detecție sincronă, dar are nevoie de o componentă complexă a semnalului. [[Transformata]] [https://ro.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert Hilbert] este un instrument esențial deoarace aplicând de două ori consecutiv unui semnal [[transformata]] [https://ro.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert Hilbert], se obţine semnalul cu semn schimbat (negativ). În cazul unui semnal radio, aceasta este, practic, componenta sinusoidală, imaginară, a semnalului original. Semnalul "generat" nu există în natură, este un semnal pur ''analitic''. Ca atare, putem defini un [[semnal analitic]] ca fiind semnalul cu o caracteristica spectrală întotdeauna nulă pentru frecvenţe negative. Deci, dacă într-o caracteristică spectrală a unui semnal se ia în considerare numai domeniul frecvenţelor pozitive (care există în natură), atunci caracteristicii spectrale respective îi va corespunde (întotdeauna) un semnal analitic. E o mică ''șmecherie'' matematică care ajută foarte mult în practică<ref name="c_neg">O altă ''șmecherie'' matematică întâlnită în teoria filtrelor este capacitanța negativă folosită la fundamentarea teoretică (și implementarea practică) a filtrelor analogice. ;)</ref>, în teoria și practica modulatoarelor.

	Primul exemplu concret: Transformata Hilbert a unui semnal cu frecvența de 200 Hz, fără amplitudine inițială. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde.		Primul exemplu concret: Transformata Hilbert a unui semnal cu frecvența de 200 Hz, fără amplitudine inițială. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde.

Yo3iti la 25 ianuarie 2020 20:16

2020-01-25T20:16:30Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 25 ianuarie 2020 23:16
Linia 50:		Linia 50:

	Un exemplu concret: generează o secvență compusă din trei sinusoide cu frecvemțele de 203, 721 și 1001 Hz. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde. Codul se modifică:		Un exemplu concret: generează o secvență compusă din trei sinusoide cu frecvemțele de 203, 721 și 1001 Hz. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde. Codul se modifică:

	<syntaxhighlight lang="Matlab">		<syntaxhighlight lang="Matlab">
	...		...
Linia 56:		Linia 55:
	...		...
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

	[[Fișier:Hilbert, trei unde, cu amplitudine inițială.png\|none\|640px\|Hilbert, trei unde, cu amplitudine inițială]]		[[Fișier:Hilbert, trei unde, cu amplitudine inițială.png\|none\|640px\|Hilbert, trei unde, cu amplitudine inițială]]

Yo3iti la 25 ianuarie 2020 20:16

2020-01-25T20:16:06Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 25 ianuarie 2020 23:16
Linia 49:		Linia 49:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

	Un exemplu concret: generează o secvență compusă din trei sinusoide cu frecvemțele de 203, 721 și 1001 Hz. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde.		Un exemplu concret: generează o secvență compusă din trei sinusoide cu frecvemțele de 203, 721 și 1001 Hz. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde. Codul se modifică:



	<syntaxhighlight lang="Matlab">		<syntaxhighlight lang="Matlab">
	fs = ~~1e4~~;		...
	~~t = 0:1~~/~~fs:1;~~		x = 2.5 + cos(2pi203t) + sin(2pi721t) + cos(2pi1001*t);
			...
			</syntaxhighlight>

	~~x = 2~~.~~5 + cos(2pi203t) + sin(2pi721t) + cos(2pi1001*t);~~		[[Fișier:Hilbert, trei unde, cu amplitudine inițială.png\|none\|640px\|Hilbert, trei unde, cu amplitudine inițială]]

	~~y = hilbert(x);~~

	~~plot(t,real(y),t,imag(y))~~
	~~xlim([0.01 0.03])~~
	~~legend('real','imaginar')~~
	~~title('Funcție Hilbert')~~
	~~</syntaxhighlight>~~
	==Note==		==Note==
	<references />		<references />
	==Link-uri externe==		==Link-uri externe==
	* [http://www.math.md/school/istoria/hilbert/hilbert.html Despre David Hilbert]		* [http://www.math.md/school/istoria/hilbert/hilbert.html Despre David Hilbert]

Yo3iti la 25 ianuarie 2020 20:13

2020-01-25T20:13:04Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 25 ianuarie 2020 23:13
Linia 1:		Linia 1:
	În prelucrarea semnalelor, o problemă deosebită o pun semnalele cu componentă complexă (imaginară). Unul dintre domeniile cu aplicabilitate imediată este modulația complexă a semnalelor sinuosoidale, caz concret — modulația cu bandă laterală unică prin schimbare de fază<ref name="blu_sch_faza">Dintre tehnicile de modulație BLU, modulația prin detecție sincronă are limitări în ceea ce privește discriminarea spectrală a două semnale adiacente, ca atare este rar folosită în prezent și este menționată doar din motive istorice.</ref>. Procesarea în cuadratură a fost soluția la limitările modulației cu detecție sincronă, dar are nevoie de o componentă complexă a semnalului. [[Transformata]] [[Hilbert]] este un instrument esențial deoarace aplicând de două ori consecutiv unui semnal [[transformata]] [[Hilbert]], se obţine semnalul cu semn schimbat (negativ). În cazul unui semnal radio, aceasta este, practic, componenta sinusoidală, imaginară, a semnalului original. Semnalul "generat" nu există în natură, este un semnal pur ''analitic''. Ca atare, putem defini un [[semnal analitic]] ca fiind semnalul cu o caracteristica spectrală întotdeauna nulă pentru frecvenţe negative. Deci, dacă într-o caracteristică spectrală a unui semnal se ia în considerare numai domeniul frecvenţelor pozitive (care există în natură), atunci caracteristicii spectrale respective îi va corespunde (întotdeauna) un semnal analitic. E o mică ''șmecherie'' matematică care ajută foarte mult în practică<ref name="c_neg">O altă ''șmecherie'' matematică întâlnită în teoria filtrelor este capacitanța negativă folosită la fundamentarea teoretică (și implementarea practică) a filtrelor analogice. ;)</ref>, în teoria și practica modulatoarelor.		În prelucrarea semnalelor, o problemă deosebită o pun semnalele cu componentă complexă (imaginară). Unul dintre domeniile cu aplicabilitate imediată este modulația complexă a semnalelor sinuosoidale, caz concret — modulația cu bandă laterală unică (SSB) prin schimbare de fază<ref name="blu_sch_faza">Dintre tehnicile de modulație BLU (SSB), modulația prin detecție sincronă are limitări în ceea ce privește discriminarea spectrală a două semnale adiacente, ca atare este rar folosită în prezent și este menționată doar din motive istorice.</ref>. Procesarea în cuadratură a fost soluția la limitările modulației cu detecție sincronă, dar are nevoie de o componentă complexă a semnalului. [[Transformata]] [[Hilbert]] este un instrument esențial deoarace aplicând de două ori consecutiv unui semnal [[transformata]] [[Hilbert]], se obţine semnalul cu semn schimbat (negativ). În cazul unui semnal radio, aceasta este, practic, componenta sinusoidală, imaginară, a semnalului original. Semnalul "generat" nu există în natură, este un semnal pur ''analitic''. Ca atare, putem defini un [[semnal analitic]] ca fiind semnalul cu o caracteristica spectrală întotdeauna nulă pentru frecvenţe negative. Deci, dacă într-o caracteristică spectrală a unui semnal se ia în considerare numai domeniul frecvenţelor pozitive (care există în natură), atunci caracteristicii spectrale respective îi va corespunde (întotdeauna) un semnal analitic. E o mică ''șmecherie'' matematică care ajută foarte mult în practică<ref name="c_neg">O altă ''șmecherie'' matematică întâlnită în teoria filtrelor este capacitanța negativă folosită la fundamentarea teoretică (și implementarea practică) a filtrelor analogice. ;)</ref>, în teoria și practica modulatoarelor.

	Primul ~~caz~~, ~~foarte simplu: generează~~ transformata Hilbert a ~~unui~~		Primul exemplu concret: Transformata Hilbert a unui semnal cu frecvența de 200 Hz, fără amplitudine inițială. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde.

	<syntaxhighlight lang="Matlab">		<syntaxhighlight lang="Matlab">
Linia 32:		Linia 32:

	[[Fișier:Hilbert, cosinus, fără amplitudine inițială.png\|none\|640px\|Hilbert, cosinus, fără amplitudine inițială]]		[[Fișier:Hilbert, cosinus, fără amplitudine inițială.png\|none\|640px\|Hilbert, cosinus, fără amplitudine inițială]]

			Prin adăugarea unei amplitudini inițiale, cele două semnale vor fi separate în amplitudine deoarece transformata Hilbert a unei constante este zero. Codul se modifică:
			<syntaxhighlight lang="Matlab">
			...
			% Amplitudinea de 2.5 fiind constantă nu se va regăsi în rezultatul
			x = 2.5 + cos(2pi200*t);
			...
			</syntaxhighlight>

			[[Fișier:Hilbert, cosinus, cu amplitudine inițială.png\|none\|640px\|Hilbert, cosinus, cu amplitudine inițială]]

			<syntaxhighlight lang="Matlab">
			</syntaxhighlight>

	<syntaxhighlight lang="Matlab">		<syntaxhighlight lang="Matlab">

Yo3iti la 25 ianuarie 2020 20:06

2020-01-25T20:06:06Z

← Versiunea anterioară		Versiunea de la data 25 ianuarie 2020 23:06
Linia 4:		Linia 4:

	<syntaxhighlight lang="Matlab">		<syntaxhighlight lang="Matlab">
			%% Parametri de lucru
			fs = 1e4; % frecvența de eșantionare
			t = 0:1/fs:1; % intervalul de timp, între 0 și 1 secundă cu pași de 1/fs

			%% Semnalul
			% e de forma x = A + cos(omega*t);
			% Amplitudinea de 2.5 fiind constantă nu se va regăsi în rezultatul
			x = 0 + cos(2pi200*t);

			%% transformata Hilbert
			y = hilbert(x);

			%% Graficul
			grafic = plot(t,real(y),t,imag(y),'LineWidth',1.5) %reprezentare grafică cu o linie mai grosuță

			%% Proprietățile graficului
			xlim([0.01 0.03])
			legend('componenta reală','componenta imaginară')
			title('Transformata Hilbert a unui semnal de 200Hz')
			grid
			xlabel('timp (s)')
			str = '$$ \cos(\omega t) $$ ';
			ylabel(str, 'interpreter', 'latex', 'FontSize', 15);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

Yo3iti la 25 ianuarie 2020 19:47

2020-01-25T19:47:05Z

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 În prelucrarea semnalelor, o problemă deosebită o pun semnalele cu componentă complexă (imaginară). Unul dintre domeniile cu aplicabilitate imediată este modulația complexă a semnalelor sinuosoidale, caz concret — modulația cu bandă laterală unică prin schimbare de fază<ref name="blu_sch_faza">Dintre tehnicile de modulație BLU, modulația prin detecție sincronă are limitări în ceea ce privește discriminarea spectrală a două semnale adiacente, ca atare este rar folosită în prezent și este menționată doar din motive istorice.</ref>. Procesarea în cuadratură a fost soluția la limitările modulației cu detecție sincronă, dar are nevoie de o componentă complexă a semnalului. [[Transformata]] [[Hilbert]] este un instrument esențial deoarace aplicând de două ori consecutiv unui semnal [[transformata]] [[Hilbert]], se obţine semnalul cu semn schimbat (negativ). În cazul unui semnal radio, aceasta este, practic, componenta sinusoidală, imaginară, a semnalului original. Semnalul "generat" nu există în natură, este un semnal pur ''analitic''. Ca atare, putem defini un [[semnal analitic]] ca fiind semnalul cu o caracteristica spectrală întotdeauna nulă pentru frecvenţe negative. Deci, dacă într-o caracteristică spectrală a unui semnal se ia în considerare numai domeniul frecvenţelor pozitive (care există în natură), atunci caracteristicii spectrale respective îi va corespunde (întotdeauna) un semnal analitic. E o mică ''șmecherie'' matematică care ajută foarte mult în practică<ref name="c_neg">O altă ''șmecherie'' matematică întâlnită în teoria filtrelor este capacitanța negativă folosită la fundamentarea teoretică (și implementarea practică) a filtrelor analogice. ;)</ref>, în teoria și practica modulatoarelor.
-Un exemplu concret: generează o secvență compusă din trei sinusoide cu frecvemțele de 203, 721 și 1001 Hz. Secvența este eșantionată la 10kHz (>> Nyquist) timp de 1 secundă (>> perioada medie). Se va utiliza transformata Hilbert pentru a calcula semnalul analitic. Se va reprezenta grafic între 0,01 și 0,03 secunde:
+Primul caz, foarte simplu: generează transformata Hilbert a unui
 <syntaxhighlight lang="Matlab">
 fs = 1e4;